Модуль суммы векторов - важная величина в векторной алгебре, имеющая практическое применение в физике, инженерии и компьютерной графике. Его вычисление зависит от взаимного расположения складываемых векторов.
Содержание
Модуль суммы векторов - важная величина в векторной алгебре, имеющая практическое применение в физике, инженерии и компьютерной графике. Его вычисление зависит от взаимного расположения складываемых векторов.
Основная формула модуля суммы двух векторов
Для двух векторов a и b модуль их суммы вычисляется по формуле:
| |a + b| = √(a² + b² + 2|a||b|cosθ) |
| где θ - угол между векторами |
Частные случаи
| Условие | Формула |
| Векторы сонаправлены (θ = 0°) | |a + b| = |a| + |b| |
| Векторы противоположно направлены (θ = 180°) | |a + b| = ||a| - |b|| |
| Векторы перпендикулярны (θ = 90°) | |a + b| = √(a² + b²) |
Свойства модуля суммы векторов
- Неравенство треугольника: |a + b| ≤ |a| + |b|
- Коммутативность: |a + b| = |b + a|
- Ассоциативность: |(a + b) + c| = |a + (b + c)|
Геометрическая интерпретация
Модуль суммы векторов равен длине диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах:
- Построить оба вектора из одной точки
- Достроить параллелограмм
- Диагональ параллелограмма будет изображать сумму векторов
- Длина этой диагонали равна модулю суммы
Пример вычисления
| Дано | Решение |
| |a| = 3, |b| = 4, θ = 60° | |a + b| = √(9 + 16 + 2×3×4×0.5) = √37 ≈ 6.08 |
Применение в физике
Модуль суммы векторов используется при расчете:
- Результирующей силы в механике
- Суммарной скорости в кинематике
- Результирующего импульса системы
- Напряженности электрического поля
Понимание принципов вычисления модуля суммы векторов необходимо для решения широкого круга задач в точных науках и технических дисциплинах.
